số nguyên

Cấu trúc đại số → lý thuyết nhóm
Lý thuyết nhóm

Thuật ngữ cơ bản

  • Nhóm con
  • Nhóm con cái chuẩn chỉnh tắc
  • Nhóm thương
  • Tích trực tiếp
  • Tích nửa trực tiếp
Đồng cấu nhóm
  • hạt nhân
  • ảnh
  • tổng trực tiếp
  • tích bện
  • đơn
  • hữu hạn
  • vô hạn
  • liên tục
  • nhân
  • cộng tính
  • cyclic
  • giao hoán
  • nhị diện
  • lũy linh
  • giải được
  • tác động
  • Từ vựng người sử dụng vô lý thuyết nhóm
  • Danh sách những chủ thể vô lý thuyết nhóm

Nhóm hữu hạn

Bạn đang xem: số nguyên

Phân loại group đơn hữu hạn
  • cyclic
  • thay phiên
  • dạng Lie
  • sporadic
  • định lý Cauchy
  • định lý Lagrange
  • Định lý Sylow
  • Định lý Hall
  • p-nhóm
  • Nhóm abel sơ cấp
  • Nhóm Frobenius
  • Nhân tử Schur

Nhóm Mathieu

  • M11
  • M12
  • M22
  • M23
  • M24

Nhóm Conway

  • Co1
  • Co2
  • Co3

Nhóm Janko

  • J1
  • J2
  • J3
  • J4

Nhóm Fischer

  • F22
  • F23
  • F24
  • nhóm đối xứng Sn
  • Nhóm tư Klein V
  • Nhóm nhị diện Dn
  • Nhóm Quaternion Q
  • Nhóm Dicyclic Dicn
  • Nhóm tách rạc
  • Lưới
  • Số vẹn toàn ()
  • Nhóm tự động do

Nhóm tế bào đun

  • PSL(2, )
  • SL(2, )
  • Nhóm số học
  • Lưới
  • Nhóm hyperbolic

Tô pô và group Lie

  • Solenoid
  • Đường tròn
  • Tuyến tính tổng quát mắng GL(n)
  • Tuyến tính quan trọng đặc biệt SL(n)
  • Trực uỷ thác O(n)
  • Euclid E(n)
  • Trực uỷ thác quan trọng đặc biệt SO(n)
  • Unita U(n)
  • Unita quan trọng đặc biệt SU(n)
  • Symplectic Sp(n)
  • G2
  • F4
  • E6
  • E7
  • E8
  • Lorentz
  • Poincaré
  • Bảo giác
  • Vi đồng phôi
  • Vòng

Nhóm Lie vô hạn chiều

  • O(∞)
  • SU(∞)
  • Sp(∞)

Nhóm đại số

  • Nhóm đại số tuyến tính
  • Nhóm khả quy
  • Đa tạp uỷ thác hoán
  • Đường cong elliptic
  • x
  • t
  • s

Trong toán học tập, số nguyên được khái niệm một cơ hội thông thườn là một vài hoàn toàn có thể được viết lách tuy nhiên không tồn tại bộ phận phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là những số nguyên, trong những khi 9.75, 5 1/2 ko cần là số nguyên.

Tập thích hợp những số nguyên bao hàm 0, những số bất ngờ dương (1, 2, 3,...), còn được gọi là số đếm,[1][1] và những nghịch tặc hòn đảo phép tắc nằm trong của bọn chúng (là những số nguyên âm, tức là, −1, −2, −3, ...). Tập thích hợp những số nguyên thông thường được biểu thị bằng văn bản in đậm (Z) hoặc chữ rộng lớn sở hữu viền với vần âm "Z" bắt mối cung cấp kể từ giờ Đức Zahlen (nghĩa là "số").[2][3][4][5] là 1 tập kết con cái của tập kết những số hữu tỷ , cho tới lượt nó là 1 tập kết con cái của tập kết những số thực . Giống như tập kết những số bất ngờ, là tập kết vô hạn điểm được.

Các số nguyên tạo ra trở nên group nhỏ nhất và đai nhỏ nhất chứa chấp những số bất ngờ. Trong lý thuyết số đại số, những số nguyên nhiều khi được xem như là số nguyên hữu tỉ nhằm phân biệt bọn chúng với những số nguyên đại số tổng quát mắng rộng lớn. Trên thực tiễn, số nguyên (hữu tỉ) là số nguyên đại số tuy nhiên cũng chính là số hữu tỉ.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu tượng hoàn toàn có thể được dùng làm biểu thị những tập kết không giống nhau, với cơ hội dùng không giống nhau trong số những người sáng tác không giống nhau: ,[2] hoặc so với những số nguyên dương, hoặc cho những số nguyên ko âm và cho những số nguyên không giống 0. Một số người sáng tác dùng ký hiệu cho những số nguyên không giống 0, trong những khi những người dân không giống dùng nó cho những số nguyên ko âm hoặc cho tới {–1, 1}. Hình như, được dùng nhằm biểu thị luyện những số nguyên modulo p[2] (tức là luyện những lớp đồng dư của những số nguyên) hoặc luyện những số nguyên p -adic.[1][6][7]. chính vì vậy nếu như muốn dùng ký hiệu hoặc ký hiệu thì cần khái niệm lại bên trên đề đánh giá, nếu như bên trên đề không tồn tại khái niệm thì coi như đề này đó là sai. Có một vài bài xích câu hỏi chứng tỏ quy hấp thụ thông thường hoặc dùng nhằm loại cút tình huống không giống ko.Chúng tao cần địa thế căn cứ vô sách giáo khoa lớp 6 thực hiện địa thế căn cứ, vô sách lớp 6 tập kết số nguyên chỉ mất kí hiệu là Z nên những lúc tất cả chúng ta cho tới đề tuy nhiên sở hữu sử

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Các số nguyên hoàn toàn có thể được xem như là những điểm tách rộc rạc, cơ hội đều nhau bên trên một trục số nhiều năm vô hạn. Tại hình bên trên, những số nguyên ko âm được hiển thị vày blue color lam và số nguyên âm red color.

Giống tựa như những số bất ngờ, là tập kết đóng góp với những phép tắc toán nằm trong và nhân, tức là tổng và tích của nhị số nguyên ngẫu nhiên là 1 số nguyên. Tuy nhiên, với việc bao hàm cả những số nguyên âm (và cần thiết là 0), , không như những số bất ngờ, cũng chính là tập kết đóng góp với phép tắc trừ.[8]

Các số nguyên tạo ra trở nên một đai đơn vị chức năng, vốn liếng là đai cơ bạn dạng nhất, bám theo nghĩa sau: so với ngẫu nhiên đai đơn vị chức năng nào là, đều sở hữu một phép tắc đồng cấu độc nhất kể từ những số nguyên vô đai này. Thuộc tính phổ quát mắng này, ví dụ là 1 đối tượng người dùng thuở đầu vô loại đai, là đặc thù cho tới đai .

ko đóng góp với phép tắc phân chia, vì thế thương của nhị số nguyên (ví dụ: 1 phân chia cho tới 2) hoàn toàn có thể ko là số nguyên. Mặc cho dù những số bất ngờ là đóng góp với phép tắc lũy quá, tuy nhiên những số nguyên thì ko (vì thành phẩm hoàn toàn có thể là 1 phân số Lúc số nón là âm).

Bảng sau liệt kê một vài đặc điểm cơ bạn dạng của phép tắc nằm trong và phép tắc nhân so với ngẫu nhiên số nguyên a, bc:

Tính hóa học của phép tắc nằm trong và phép tắc nhân bên trên số nguyên
Phép cộng Phép nhân
Tính đóng: a + b là số nguyên a × b là số nguyên
Tính kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Tính uỷ thác hoán: a + b = b + a a × b = b × a
Tồn bên trên thành phần đơn vị: a + 0 = a a × 1 = a
Tồn bên trên thành phần nghịch tặc đảo: a + (−a) = 0 Số vẹn toàn độc nhất sở hữu thành phần nghịch tặc hòn đảo (gọi là đơn vị) là −11.
Thuộc tính phân phối: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)  (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Không sở hữu ước số của 0: Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai)

Trong ngôn từ của đại số trừu tượng, năm tính chất thứ nhất được liệt kê phía trên xác định rằng là 1 group abel với phép tắc nằm trong. Nó cũng là 1 group cyclic, vì thế từng số nguyên không giống 0 đều hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +... + 1 hoặc (−1) + (−1) +... + (−1). Trên thực tiễn, với phép tắc nằm trong là nhóm tuần trả vô hạn duy nhất — bám theo tức là ngẫu nhiên group tuần trả vô hạn nào là đều là đẳng cấu với .

Bốn tính chất thứ nhất được liệt kê phía trên được cho phép nhân bảo rằng cùng theo với phép tắc nhân là 1 monoid uỷ thác hoán. Tuy nhiên, ko cần từng số nguyên đều sở hữu nghịch tặc hòn đảo nhân (như tình huống của số 2), tức là với phép tắc nhân ko cần là 1 group.

Tất cả những quy tắc kể từ bảng tính chất bên trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), Lúc được kết phù hợp với nhau, bảo rằng cùng theo với phép tắc nằm trong và phép tắc nhân là 1 đai uỷ thác hoán sở hữu thành phần đơn vị chức năng. Nó là vẹn toàn khuôn mẫu của toàn bộ những đối tượng người dùng của cấu tạo đại số như thế. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong những cho tới toàn bộ những độ quý hiếm của biến đổi, thì cũng chính là đúng trong những ngẫu nhiên đai uỷ thác hoán sở hữu đơn vị chức năng nào là. Một số số nguyên không giống 0 ánh xạ cho tới 0 vô một vài đai chắc chắn.

Việc thiếu hụt những ước số của 0 trong số số nguyên (thuộc tính sau cùng vô bảng) tức là đai uỷ thác hoán là 1 miền vẹn toàn.

Việc thiếu hụt những phép tắc nghịch tặc hòn đảo của phép tắc nhân, tương tự với thực tiễn là ko cần là đóng góp với phép tắc phân chia, tức là không phải là 1 ngôi trường. Trường nhỏ nhất chứa chấp những số nguyên bên dưới dạng một đai con cái là ngôi trường những số hữu tỉ. Quá trình thiết kế những số hữu tỉ kể từ những số nguyên hoàn toàn có thể được học theo muốn tạo trở nên ngôi trường phân số của ngẫu nhiên miền vẹn toàn nào là. Và ngược lại, chính thức kể từ ngôi trường số đại số (phần không ngừng mở rộng của số hữu tỉ), đai số nguyên của chính nó hoàn toàn có thể được trích xuất, bao hàm như thể đai con cái của chính nó.

Mặc cho dù phép tắc phân chia thường thì ko được khái niệm bên trên , phép tắc phân chia "với phần dư" được xác lập bên trên bọn chúng. Nó được gọi là phép tắc phân chia Euclid, và sở hữu đặc điểm cần thiết sau: cho tới nhị số nguyên ab với b ≠ 0, tồn bên trên những số nguyên qr độc nhất sao cho tới a = q × b + r0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị độ quý hiếm vô cùng của b.[9] Số vẹn toàn q được gọi là thươngr được gọi là phần dư của phép tắc phân chia a cho tới b. Thuật toán Euclid nhằm tính ước số cộng đồng lớn số 1 sinh hoạt với cùng một chuỗi những phép tắc phân chia Euclid.

Một lần tiếp nữa, vô ngôn từ của đại số trừu tượng, phần bên trên bảo rằng là 1 đai Euclid. Vấn đề này ý niệm rằng là 1 đai ideal chủ yếu và ngẫu nhiên số nguyên dương nào thì cũng hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng tích của những số nguyên tố bám theo một cơ hội cơ bạn dạng độc nhất.[10] Đây là quyết định lý cơ bạn dạng của số học tập.

Thuộc tính lý thuyết loại tự[sửa | sửa mã nguồn]

là 1 tập kết sở hữu trật tự trọn vẹn không tồn tại số lượng giới hạn bên trên hoặc bên dưới. Thứ tự động của được khái niệm là: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Một số nguyên là dương nếu như nó to hơn 0 và âm nếu như nó nhỏ rộng lớn 0. Số ko (0) được khái niệm là ko âm cũng ko dương.

Thứ tự động của những số nguyên tương quí với những phép tắc toán đại số Theo phong cách sau:

  1. Nếu a < bc < d, thì a + c < b + d
  2. Nếu a < b0 < c, thì ac < bc.

Vì vậy, tao tóm lại rằng cùng theo với trật tự bên trên là 1 đai sở hữu trật tự.

Các số nguyên là group abel sở hữu trật tự trọn vẹn ko tầm thông thường độc nhất sở hữu những thành phần dương được bố trí bám theo trật tự phù hợp.[11] Vấn đề này tương tự với tuyên thân phụ rằng ngẫu nhiên đai Review Noether nào thì cũng là 1 ngôi trường — hoặc một đai định vị vô nằm trong cần thiết.

Xây dựng[sửa | sửa mã nguồn]

Representation of equivalence classes for the numbers −5 lớn 5
Các điểm red color thể hiện nay những cặp số bất ngờ sở hữu trật tự. Các điểm red color được link là những lớp tương tự đại diện thay mặt cho những số nguyên blue color lam ở cuối dòng sản phẩm.

Trong quy trình dạy dỗ học tập ở ngôi trường đái học tập, những số nguyên thông thường được khái niệm một cơ hội trực quan liêu là những số bất ngờ (dương), số 0 và những số đối của những số bất ngờ. Tuy nhiên, loại khái niệm này dẫn theo nhiều tình huống không giống nhau (mỗi phép tắc toán số học tập rất cần phải xác lập bên trên từng tổng hợp những loại số nguyên) và khiến cho việc chứng tỏ rằng những số nguyên tuân bám theo những quyết định luật số học tập không giống nhau trở thành tẻ nhạt nhẽo.[12] Do bại liệt, vô toán học tập lý thuyết tập kết văn minh, một cấu tạo trừu tượng hơn[13] được cho phép người tao xác lập những phép tắc toán số học tập tuy nhiên không tồn tại ngẫu nhiên phân biệt tình huống nào là thông thường được dùng để thay thế thế.[14] Do bại liệt, những số nguyên hoàn toàn có thể được thiết kế đầu tiên tựa như những lớp tương tự của những cặp số bất ngờ sở hữu trật tự (a,b).[15]

Trực giác là (a,b) là viết lách tắt của thành phẩm của phép tắc trừ a-b.[15] Để xác nhận kỳ vọng của tất cả chúng ta rằng 1 − 24 − 5 biểu thị nằm trong một vài, tất cả chúng ta xác lập mối quan hệ tương tự ~ bên trên những cặp này với quy tắc sau:

Xem thêm: gió mang ký ức thổi thành những cánh hoa

chỉ khi

Phép nằm trong và phép tắc nhân những số nguyên hoàn toàn có thể được khái niệm bám theo những phép tắc toán tương tự bên trên những số tự động nhiên;[15] bằng phương pháp dùng [(a,b)] nhằm biểu thị lớp tương tự sở hữu (a,b) là member, lớp này có:

Số đối (hoặc phép tắc nghịch tặc hòn đảo của phép tắc cộng) của một số nguyên đã có được bằng phương pháp hòn đảo ngược trật tự của cặp:

Do bại liệt phép tắc trừ hoàn toàn có thể được khái niệm là phép tắc cùng theo với nghịch tặc hòn đảo của phép tắc cộng:

Thứ tự động chi chuẩn chỉnh bên trên những số nguyên được thể hiện với bất đẳng thức:

Lúc và chỉ Lúc

Dễ dàng xác minh rằng những khái niệm này sẽ không tùy thuộc vào việc lựa lựa chọn đại diện thay mặt của những lớp tương tự.

Mọi lớp tương tự sở hữu một member độc nhất sở hữu dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả nhị và một lúc). Số bất ngờ n được xác lập với lớp [(n,0)] (nghĩa là, những số bất ngờ được nhúng vô những số nguyên bằng phương pháp ánh xạ gửi n cho tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu n (điều này bao hàm toàn bộ những lớp còn sót lại và cho tới lớp [(0,0)] gấp đôi vì thế −0 = 0.

Do bại liệt, [(a,b)] được ký hiệu là

Nếu những số bất ngờ được xác lập với những số nguyên ứng (sử dụng phép tắc nhúng được kể ở trên), thì quy ước này sẽ không đưa đến sự mơ hồ nước.

Ký hiệu này hồi phục màn biểu diễn thân thuộc của những số nguyên là {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.

Một số ví dụ:

Trong khoa học tập PC lý thuyết, những cơ hội tiếp cận không giống nhằm thiết kế những số nguyên được dùng vày những máy dò la quyết định lý tự động hóa và những dụng cụ viết lách lại thuật ngữ. Số vẹn toàn được màn biểu diễn bên dưới dạng những thuật ngữ đại số được thiết kế bằng phương pháp dùng một vài ba phép tắc toán cơ bạn dạng (ví dụ: zero, succ, pred) và, hoàn toàn có thể, dùng những số bất ngờ, được giả thiết là và đã được thiết kế (sử dụng cách thức Peano).

Tồn bên trên tối thiểu chục cơ hội thiết kế những số nguyên sở hữu vết.[16] Các cấu tạo này không giống nhau bám theo một vài cách: con số những phép tắc toán cơ bạn dạng được dùng cho tới cấu tạo, con số (thường là kể từ 0 cho tới 2) và những loại đối số được những phép tắc toán này chấp nhận; sự hiện hữu hoặc vắng ngắt mặt mày của những số bất ngờ thực hiện đối số của một vài phép tắc toán này và thực tiễn là những phép tắc toán này còn có cần là hàm tạo ra tự tại hay là không, tức là và một số nguyên hoàn toàn có thể được màn biểu diễn chỉ vày một hoặc nhiều số hạng đại số.

Kỹ thuật thiết kế những số nguyên được trình diễn phía trên vô phần này ứng với tình huống ví dụ vô bại liệt sở hữu một cặp phép tắc toán cơ bạn dạng duy nhất nhận đối số là nhị số bất ngờ và trả về một số nguyên (bằng ). Thao tác này sẽ không tự tại vì thế số nguyên 0 hoàn toàn có thể được viết lách là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật thiết kế này được dùng vày trợ lý chứng tỏ Isabelle; tuy vậy, nhiều dụng cụ không giống dùng những chuyên môn thiết kế thay cho thế, xứng đáng xem xét là những chuyên môn dựa vào những cấu tạo tự tại, giản dị rộng lớn và hoàn toàn có thể được tiến hành hiệu suất cao rộng lớn vô PC.

Máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Một số nguyên thông thường là 1 loại tài liệu vẹn toàn thủy trong số ngôn từ PC. Tuy nhiên, loại tài liệu số nguyên chỉ hoàn toàn có thể đại diện thay mặt cho 1 tập kết con cái của toàn bộ những số nguyên, vì thế PC thực tiễn sở hữu dung tích hữu hạn. Hình như, vô màn biểu diễn phép tắc bù nhị phổ cập, khái niệm cố hữu của vết phân biệt thân ái "âm" và "không âm" chứ không "âm, dương và 0 ". (Tuy nhiên, chắc chắn rằng PC hoàn toàn có thể xác lập được liệu một độ quý hiếm số nguyên sở hữu thực sự là số dương hay là không.) Các loại tài liệu xấp xỉ số nguyên có tính nhiều năm thắt chặt và cố định (hoặc tập kết con) được ký hiệu là int hoặc Integer vô một vài ngôn từ thiết kế (chẳng hạn như Algol68, C, Java, Delphi, v.v..).

Các màn biểu diễn số nguyên có tính nhiều năm thay cho thay đổi, ví dụ như bignum, hoàn toàn có thể tàng trữ ngẫu nhiên số nguyên nào là vừa phải với bộ lưu trữ của sản phẩm tính. Các loại tài liệu số nguyên không giống được lên kế hoạch với độ cao thấp thắt chặt và cố định, thông thường là một vài bit là lũy quá của 2 (4, 8, 16, v.v.) hoặc một vài chữ số thập phân (ví dụ: 9 hoặc 10).

Lực lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Lực lượng của tập kết những số nguyên vày 0 (aleph-null). Điều được đơn giản và dễ dàng chứng tỏ bằng sự việc thiết kế một tuy nhiên ánh, bại liệt là 1 hàm đơn ánh và toàn ánh kể từ cho tới . Nếu như tiếp sau đó kiểm tra hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5)...}

Nếu như thì tao kiểm tra hàm sau:

Xem thêm: nguoi phan boi le bao binh

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)...}

Nếu miền bị giới hạn vô vậy thì từng và từng thành phần của sở hữu một và có một thành phần ứng của và bám theo khái niệm của đồng đẳng lực lượng thì nhị tập kết này còn có lực lượng cân nhau.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số vô tỉ
  • Số hữu tỉ
  • Số vẹn toàn tố
  • Số tự động nhiên
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a b c Weisstein, Eric W., "Số nguyên" kể từ MathWorld.
  2. ^ a b c “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng giờ Anh). 1 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  3. ^ Weisstein, Eric W. “Integer”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  4. ^ Miller, Jeff (29 mon 8 năm 2010). “Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Bản gốc tàng trữ ngày 31 mon một năm 2010. Truy cập ngày đôi mươi mon 9 năm 2010.
  5. ^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction lớn Algebra. Oxford University Press. tr. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  6. ^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Chip Core Mathematics 1" Pearson 2008
  7. ^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
  8. ^ “Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  9. ^ “The Definitive Higher Math Guide lớn Long Division and Its Variants — for Integers”. Math Vault (bằng giờ Anh). 24 mon hai năm 2019. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  10. ^ Serge, Lang (1993). Algebra (ấn bạn dạng 3). Addison-Wesley. tr. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
  11. ^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem đôi mươi.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Bản gốc tàng trữ ngày 6 mon 9 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng bốn năm 2015.
  12. ^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  13. ^ Ivorra Castillo: Álgebra
  14. ^ Frobisher, Len (1999). Learning lớn Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. tr. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  15. ^ a b c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
  16. ^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. tr. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Lưu trữ bạn dạng gốc ngày 26 mon một năm 2018. Truy cập ngày 25 mon một năm 2018.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons được thêm hình hình ảnh và phương tiện đi lại truyền đạt về Số nguyên.
  • Số vẹn toàn bên trên MathWorld.