tích phân là gì

Bách khoa toàn thư phanh Wikipedia

Tích phân xác lập được khái niệm như diện tích S S được số lượng giới hạn vày lối cong y=f(x) và trục hoành, với x chạy kể từ a cho tới b
Một phần của loạt bài bác về
Vi tích phân
  • Định lý cơ bản
  • Quy tắc tích phân Leibniz
  • Giới hạn của hàm số
  • Tính liên tục
  • Định lý độ quý hiếm trung bình
  • Định lý Rolle

Vi phân

Bạn đang xem: tích phân là gì

Định nghĩa
  • Đạo hàm (Tổng quát)
  • Vi phân
    • vô nằm trong bé
    • hàm số
    • toàn phần
Khái niệm
  • Ký hiệu vi phân
  • Đạo hàm bậc hai
  • Vi phân ẩn
  • Định lý Taylor
Quy tắc và đẳng thức
  • Cộng
  • Nhân
  • Dây chuyền
  • Lũy thừa
  • Chia
  • Quy tắc l'Hôpital
  • Hàm ngược
  • Leibniz tổng quát
  • Công thức Faà di Bruno

Tích phân

  • Danh sách tích phân
  • Biến thay đổi tích phân
Định nghĩa
  • Nguyên hàm
  • Tích phân (suy rộng)
  • Tích phân Riemann
  • Tích phân Lebesgue
  • Tích phân bám theo chu tuyến
  • Tích phân của hàm ngược
Kỹ thuật
  • Từng phần
  • Đĩa
  • Vỏ
  • Thế (lượng giác, Weierstrass, Euler)
  • Công thức Euler
  • Đổi trật tự
  • Công thức truy hồi
  • Lấy đạo hàm bên dưới dấu vết phân

Chuỗi

  • Hình học tập (số học-hình học)
  • Điều hòa
  • Đan dấu
  • Lũy thừa
  • Nhị thức
  • Taylor
Tiêu chuẩn chỉnh hội tụ
  • Số hạng
  • d'Alembert
  • Cauchy
  • Tích phân
  • So sánh

  • So sánh giới hạn
  • Chuỗi đan dấu
  • Cô ứ đọng Cauchy
  • Dirichlet
  • Abel

Vectơ

  • Gradien
  • Div
  • Rot
  • Laplace
  • Đạo hàm sở hữu hướng
  • Đẳng thức
Định lý
  • Gauss
  • Gradient
  • Green
  • Kelvin–Stokes
  • Stokes

Nhiều biến

Chủ đề
  • Ma trận
  • Tenxơ
  • Đạo hàm ngoài
  • Hình học
Định nghĩa
  • Đạo hàm riêng
  • Tích phân bội
  • Tích phân đường
  • Tích phân mặt
  • Tích phân thể tích
  • Ma trận Jacobi
  • Ma trận Hesse

Chuyên ngành

  • Malliavin
  • Ngẫu nhiên
  • Phép tính trở nên phân

Thuật ngữ

  • Thuật ngữ giải tích
  • x
  • t
  • s

Tích phân (Tiếng Anh: integral) là 1 trong định nghĩa và phạm trù toán học tập tương quan cho tới toàn cỗ quy trình thay cho thay đổi của một thực thể nguyên vẹn thuỷ (thực thể này thường được biểu diễn miêu tả vày một hàm số tùy theo trở nên số được gọi là nguyên vẹn hàm) Khi tiếp tục xác lập được vận tốc thay cho thay đổi của chính nó. Tích phân cùng theo với định nghĩa trái chiều của chính nó, vi phân (differential), vào vai trò là 2 quy tắc tính cơ bạn dạng và căn bản vô nghành nghề giải tích (calculus). Một ví dụ cơ bạn dạng về tầm quan trọng của tích phân là phần mềm của chính nó vô Việc tính quãng lối của một hóa học điểm Khi tiếp tục biết véc tơ vận tốc tức thời của chính nó. Một ví dụ không giống là Việc tính thể tích một vật được tạo ra vày một phía bằng phẳng xoay xung quanh trục thắt chặt và cố định Khi tiếp tục biết về diện tích S hoặc tỷ lệ bên trên từng mặt phẳng cắt của vật cơ. Về mặt mày hình học tập, rất có thể hiểu giản dị và đơn giản tích phân như thể diện tích S hoặc thể tích được tổng quát mắng hóa. Giả sử cần thiết tính diện tích S một hình bằng phẳng được bao vày những đoạn trực tiếp, tao chỉ việc phân tách hình cơ trở nên những hình nhỏ giản dị và đơn giản rộng lớn và đã hiểu cách thức tính diện tích S như hình tam giác, hình vuông vắn, hình thang, hình chữ nhật... Tiếp bám theo, xét một hình phức tạp rộng lớn tuy nhiên nó được bao vày cả đoạn trực tiếp lẫn lộn lối cong, tao cũng phân tách nó trở nên những hình nhỏ rộng lớn, tuy nhiên giờ đây thành phẩm đạt thêm những hình thang cong. Tích phân giúp chúng ta tính được diện tích S của hình thang cong cơ.

Có thể phân tích và lý giải về tích phân vày ngôn từ toán học tập như sau: Cho một hàm f của một trở nên thực x và một miền độ quý hiếm thực [a, b]. Như vậy một tích phân xác lập (definite integral) kể từ a cho tới b của f(x), ký hiệu là:

được khái niệm là diện tích S của một vùng vô không khí bằng phẳng xy được bao vày vật dụng thị của hàm f, trục hoành, và những đường thẳng liền mạch x = ax = b, sao cho những vùng bên trên trục hoành sẽ tiến hành tính vô tổng diện tích S, còn bên dưới trục hoành sẽ ảnh hưởng trừ vô tổng diện tích S.

Ta gọi a là cận dưới của tích phân, còn b là cận trên của tích phân.

Cho F(x) là nguyên vẹn hàm của f(x) vô (a, b). Khi cơ, tích phân biến động (indefinite integral) được viết lách như sau:

Nhiều khái niệm tích phân rất có thể được xây đắp phụ thuộc lý thuyết phỏng đo (measure). Ví dụ, tích phân Riemann dựa vào phỏng đo Jordan, còn tích phân Lebesgue dựa vào phỏng đo Lebesgue. Tích phân Riemann là khái niệm giản dị và đơn giản nhất của tích phân và thông thường xuyên được dùng vô cơ vật lý và giải tích cơ bạn dạng.

Lược sử tích phân[sửa | sửa mã nguồn]

Những quy tắc tính tích phân thứ nhất đã và đang được triển khai kể từ từ thời điểm cách đây bên trên 2.100 năm vày Archimedes (287–212 trước Công nguyên), Khi ông tính diện tích S mặt phẳng và thể tích khối của một vài ba chừng như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes rất rất tân tiến cho dù vô thời ấy chưa xuất hiện định nghĩa về đại số, hàm số hoặc thậm chí là cơ hội viết lách số dạng thập phân.

Tích phân, vi phân và môn toán học tập của những quy tắc tính này, giải tích, tiếp tục đầu tiên được tìm hiểu vày Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727). Ý tưởng chủ yếu là tích phân và vi phân là nhị quy tắc tính nghịch ngợm hòn đảo của nhau. Sử dụng ông tơ tương tác kiểu dáng này, nhị mái ấm toán học tập tiếp tục giải được một vài lượng vĩ đại những Việc cần thiết vô toán học tập, cơ vật lý và thiên văn học tập.

J. B. Fourier (1768–1830) Khi nghiên cứu và phân tích sự truyền nhiệt độ tiếp tục lần đi ra chuỗi những dung lượng giác rất có thể dùng để làm màn trình diễn nhiều hàm số không giống. Biến thay đổi Fourier (biến thay đổi kể từ hàm số trở nên chuỗi những dung lượng giác và ngược lại) và thay đổi tích phân ngày này được phần mềm rất rất thoáng rộng không chỉ có vô khoa học tập cơ bạn dạng mặc cả vô Y học tập, âm thanh và ngôn từ học tập.

Người thứ nhất lập bảng tra cứu vãn những tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855). Ông tiếp tục cùng với nhiều mái ấm toán học tập không giống phần mềm tích phân vô những Việc của toán học tập và cơ vật lý. Cauchy (1789–1857) không ngừng mở rộng tích phân sang trọng mang đến số phức. Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người dân tiền phong đặt điều nền tảng lô-gíc vững chãi mang đến khái niệm của tích phân.

Liouville (1809–1882) xây đắp một cách thức nhằm lần coi lúc nào tích phân vô lăm le của hàm cơ bạn dạng lại là 1 trong hàm cơ bạn dạng. Hermite (1822–1901) nhìn thấy một thuật toán nhằm tính tích phân cho những hàm phân thức. Phương pháp này đã và đang được không ngừng mở rộng cho những phân thức chứa chấp lô-ga-rít vô trong những năm 1940 vày A. M. Ostrowski.

Vào những năm trước đó thời đại PC của thế kỷ trăng tròn, nhiều lý thuyết canh ty tính những tích phân không giống nhau dường như không ngừng được cải cách và phát triển và phần mềm nhằm lập những bảng tra cứu vãn tích phân và thay đổi tích phân. Một số những mái ấm toán học tập góp sức mang đến việc làm này là G. N. Watson, E. C. Titchmarsh, E. W. Barnes, H. Mellin, C. S. Meijer, W. Grobner, N. Hofreiter, A. Erdelyi, L. Lewin, Y. L. Luke, W. Magnus, A. Apelblat, F. Oberhettinger, I. S. Gradshteyn, H. Exton, H. M. Srivastava, A. Phường. Prudnikov, Ya. A. Brychkov, và O. I. Marichev.

Vào năm 1969, R. H. Risch tiếp tục góp sức một cải cách và phát triển vượt lên bậc cho những thuật toán tính tích phân vô lăm le vày công trình xây dựng của ông về lý thuyết tổng quát mắng và phần mềm vô tích phân những hàm cơ bạn dạng. Phương pháp tiếp tục ko thể được phần mềm ngay lập tức mang đến từng hàm cơ bạn dạng vì như thế cốt lõi của cách thức là giải một phương trình vi phân khá khó khăn. Những cải cách và phát triển tiếp liền của không ít mái ấm toán học tập không giống đã hỗ trợ giải được phương trình vi phân này mang đến nhiều hình thức hàm cơ bạn dạng không giống nhau, càng ngày càng đầy đủ cách thức của Risch. Trong trong những năm 1980 tiếp tục sở hữu những tiến thủ cỗ không ngừng mở rộng cách thức này cho tất cả những hàm ko cơ bạn dạng đặc biệt quan trọng.

Xem thêm: hutao build

Từ những năm 1990 quay về phía trên, những thuật toán nhằm tính biểu thức tích phân vô lăm le được fake gửi gắm sang trọng và tối ưu hoá mang đến đo lường sử dụng máy tính năng lượng điện tử. Máy tính đã hỗ trợ vô hiệu sơ sót trái đất, tạo thành kĩ năng tính sản phẩm ngàn tích phân mới nhất ko lúc nào xuất hiện tại trong số bảng tra cứu vãn. Một số ứng dụng PC thương nghiệp sở hữu kĩ năng tính biểu thức tích phân lúc bấy giờ là Mathematica, Maple,...

Thuật ngữ và ký pháp[sửa | sửa mã nguồn]

Đối với tình huống giản dị và đơn giản nhất, tích phân của một hàm số thực f(x) bên trên x, được viết lách là:

Với:

Một số đặc điểm của tích phân[sửa | sửa mã nguồn]

[sửa | sửa mã nguồn]

Danh sách những tích phân cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Còn gọi là list của những nguyên vẹn hàm của một vài hàm số thông thường gặp gỡ.[1]

Phân loại tích phân[sửa | sửa mã nguồn]

Tích phân Riemann[sửa | sửa mã nguồn]

Có nhị dạng tích phân Riemann, tích phân xác lập (có cận bên trên và cận dưới) và tích phân biến động. Tích phân Riemann xác lập của hàm f(x) với x chạy trong vòng kể từ a (cận dưới) cho tới b (cận trên) được viết lách là:

Dạng biến động (không sở hữu cận) được viết lách là:

Theo lăm le lý cơ bạn dạng loại nhất của giải tích, nếu như F(x) là tích phân biến động của f(x) thì f(x) là vi phân của F(x). Tích phân xác lập được xem kể từ tích phân biến động như sau:

Còn so với tích phân biến động, tồn bên trên đồng thời nhiều hàm số sai không giống nhau vày hằng số tích phân C thoả mãn ĐK nằm trong sở hữu cộng đồng vi phân, chính vì vi phân của hằng số vày 0:

Ngày ni biểu thức toán học tập của tích phân biến động rất có thể được xem mang đến nhiều hàm số tự động hóa sử dụng máy tính. Giá trị số của tích phân xác lập rất có thể được lần vày những cách thức số, trong cả Khi biểu thức toán học tập của tích phân biến động ứng ko tồn bên trên.

Định lý cơ bạn dạng loại nhất của giải tích được thể hiện tại ở đẳng thức sau:

Tồn bên trên những hàm số tuy nhiên tích phân biến động của bọn chúng ko thể màn trình diễn vày những hàm toán học tập cơ bạn dạng. Dưới đấy là một vài ba ví dụ:

, , ,

Tích phân Lebesgue[sửa | sửa mã nguồn]

Một hàm được gọi là 1 trong hàm giản dị và đơn giản nếu như luyện hình ảnh của chính nó là hữu hạn.[2] Gọi những độ quý hiếm của luyện hình ảnh là và đặt điều , tao có

trong cơ là hàm thông tư của giao hội .

Gọi là 1 trong phỏng đo ko âm bên trên một không khí phỏng đo là 1 trong hàm giản dị và đơn giản . Hàm là đo được Khi và chỉ Khi những giao hội là đo được.[2] Tích phân của bám theo phỏng đo bên trên một luyện con cái đo được được khái niệm là

Nếu là 1 trong hàm ko âm đo được, tao khái niệm .[3]

Xem thêm: bài 12

Một hàm được gọi là khả tích Lebesgue nếu như . Ký hiệu . Đây đều là những hàm ko âm. Thế thì tích phần của

[4]

Định lý Lebesgue về việc quy tụ đơn điệu[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Lebesgue về việc quy tụ bị chặn[sửa | sửa mã nguồn]

Bổ đề Fatouer[sửa | sửa mã nguồn]

Các loại tích phân khác[sửa | sửa mã nguồn]

Ngoài tích phân Riemann và Lebesgue được dùng thoáng rộng, còn tồn tại một vài loại tích phân không giống như:

  • Tích phân Riemann-Stieltjes, một không ngừng mở rộng của tích phân Riemann.
  • Tích phân Lebesgue-Stieltjes, tổng quát mắng hóa tích phân Riemann-Stieltjes và Lebesgue, được cải cách và phát triển vày Johann Radon.
  • Tích phân Daniell
  • Tích phân Haar
  • Tích phân Henstock-Kurzweil
  • Tích phân Itō và Stratonovich
  • Tích phân Young

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Vi phân
  • Giới hạn
  • Hàm số
  • Đạo hàm
  • Tích phân đường
  • Tích phân mặt

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước, tr.185
  2. ^ a b Walter, R. (1987), tr.15, khái niệm 1.6
  3. ^ Walter, R. (1987), tr.19
  4. ^ Walter, R. (1987), tr. 25

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước. Phương pháp giải toán Giải tích 12 bám theo công tác mới nhất nhất (Tái bạn dạng chuyến 1). Nhà xuất bạn dạng Đại học tập sư phạm,, Thành Phố Hà Nội 2011.
  • Havil, J. (2003), Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. (1988), Methods of Mathematical Physics, 3rd ed., Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 29.
  • Kaplan, W. (1992), Advanced Calculus, 4th ed., Reading, MA: Addison-Wesley.
  • Toán học tập là gì?
  • Walter, R. (1987), Real and Complex Analysis, intl edi., McGraw-Hill Education.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons đạt thêm hình hình ảnh và phương tiện đi lại truyền đạt về Tích phân.
  • The Integrator by Wolfram Research
  • Function Calculator from WIMS
  • P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques

Sách trực tuyến[sửa | sửa mã nguồn]

  • Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
  • Stroyan, K.D., A Brief Introduction to tướng Infinitesimal Calculus Lưu trữ 2005-09-11 bên trên Wayback Machine, University of Iowa
  • Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book Lưu trữ 2006-04-15 bên trên Wayback Machine, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to tướng calculus
  • Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
  • Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
  • Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
  • Sloughter, Dan, Difference Equations to tướng Differential Equations, an introduction to tướng calculus
  • Wikibook of Calculus
  • Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute
Các chủ thể chủ yếu vô toán học
Nền tảng toán học tập | Đại số | Giải tích | Hình học tập | Lý thuyết số | Toán học tập tách rộc rạc | Toán học tập phần mềm |
Toán học tập vui chơi | Toán học tập tô pô | Xác suất thống kê