Lý thuyết phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến của mặt mũi bằng phẳng.

* Cho mặt mũi bằng phẳng \((P)\) , vectơ \(\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}\) mà giá bán của chính nó vuông góc với mặt mũi bằng phẳng \((P)\) thì \(\overrightarrow{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt mũi bằng phẳng \((P)\).

Bạn đang xem: phương trình mặt phẳng

* Cho mặt mũi bằng phẳng \((P)\) , cặp vectơ \(\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}\) không nằm trong phương tuy nhiên giá bán của bọn chúng là hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy song hoặc trực thuộc mặt mũi bằng phẳng \((P)\) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt mũi bằng phẳng \((P)\). Khi cơ vectơ \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right ]\). là vectơ pháp tuyến của mặt mũi bằng phẳng \((P)\).

* Nếu \(\overrightarrow{a}\) \( = \;\left( {{a_1};{\rm{ }}\;{a_{2\;}};{\rm{ }}{a_3}} \right)\), \(\overrightarrow{b}\) \( = \;\left( {{b_1}\;;{\rm{ }}{b_2}\;;{\rm{ }}{b_3}} \right)\) thì :

\(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right ]=(\begin{vmatrix} a_{2}&a_{3} \\ b_{2}& b_{3} \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_{3} & a_{1}\\ b_{3}&b_{1} \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2}\\ b_{1}& b_{2} \end{vmatrix})\)

\( = \left( {{a_2}{b_3}\;-{\rm{ }}{a_3}{b_{2\;}};{\rm{ }}{a_3}{b_1}\;-{\rm{ }}{a_1}{b_3}\;;{\rm{ }}{a_1}{b_2}\;-{\rm{ }}{a_2}{b_1}} \right).\)

* Mặt bằng phẳng trọn vẹn được xác lập lúc biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của chính nó, hay 1 điểm nằm trong mặt mũi bằng phẳng và cặp vectơ chỉ phương của chính nó.

2. Phương trình mặt mũi bằng phẳng.

* Mặt bằng phẳng \((P)\) qua loa điểm \({M_{0\;}}\left( {{x_0}\;;{\rm{ }}{y_{0\;}};{\rm{ }}{z_0}} \right){\rm{ }}\;\) và nhận \(\overrightarrow{n}\) \(\left( {A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C} \right)\) thực hiện vectơ pháp tuyến sở hữu phương trình sở hữu dạng: \(A\left( {x\;-\;{x_0}} \right) + B\left( {y-{y_0}} \right) + C\left( {z-{z_0}} \right) = 0\)

* Mọi mặt mũi bằng phẳng nhập không khí sở hữu phương trình tổng quát lác sở hữu dạng:

\(\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;Ax{\rm{ }} + {\rm{ }}By + Cz + D = 0{\rm{ }}\;{\rm{ }} \text {ở cơ }\;{A^2} + {\rm{ }}{B^2}\; + {C^{2\;}} > 0.\) Khi cơ vectơ \(\vec n\,(A;B;C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt mũi bằng phẳng.

* Mặt bằng phẳng trải qua tía điểm \(M\left( {a;0;0} \right),{\rm{ }}N\left( {0;b;0} \right),{\rm{ }}C\left( {0;0;c} \right)\) ở cơ \(abc\; \ne 0\) sở hữu phương trình :\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\). Phương trình này còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo dõi đoạn chắn.

3. Vị trí kha khá của nhị mặt mũi bằng phẳng.

Cho nhị mặt mũi bằng phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) sở hữu phương trình :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{P_1}} \right):\;{A_1}x + {B_1}y\; + {C_1}z + {D_1}\; = 0;}\\
{\left( {{P_2}} \right):\;{A_2}x + {B_2}y\; + {C_2}z + {D_2}\; = 0.}
\end{array}\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} \;(A1;B1;C1) \bot (P1)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \;(A2;B2;C2) \bot (P2)\). Khi đó:

Xem thêm: Xôi Lạc TV - Tổng Hợp Hightlight Bóng Đá Đầy Đủ, Chất Lượng Cao

\(({P_1})\; \bot \;({P_2})\) ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}\perp \overrightarrow{n_{2}}\) ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}\) \(\; \Leftrightarrow {\rm{ }}{A_1}{A_2}\; + {\rm{ }}{B_1}{B_2}\; + {\rm{ }}{C_1}{C_2}\; = {\rm{ }}0\)

\(\left( {{P_1}} \right)\;//\;\left( {{P_2}} \right)\;\; \Leftrightarrow \;\) \(\overrightarrow{n_{1}}=k.\overrightarrow{n_{2}}\) và \({D_1}\; \ne {\rm{ }}k.{D_2}\;\left( {k\; \ne {\rm{ }}0} \right).\)

\(\left( {{P_1}} \right) \equiv \;\left( {{P_2}} \right)\;\; \Leftrightarrow \;\) \(\overrightarrow{n_{1}}=k.\overrightarrow{n_{2}}\) và \(\;{D_1}\; = {\rm{ }}k.{D_{2.}}\)

\(\left( {{P_1}} \right) \text {cắt} \left( {{P_2}} \right)\;\; \Leftrightarrow \;\) \(\overrightarrow{n_{1}}\neq k.\overrightarrow{n_{2}}\) (nghĩa là \(\overrightarrow{n_{1}}\) và \(\overrightarrow{n_{2}}\) không nằm trong phương).

4. Khoảng cơ hội từ là một điểm đến chọn lựa một phía bằng phẳng.

Trong không khí \(Oxyz\) cho tới mặt mũi bằng phẳng \((P)\) sở hữu phương trình:

\(Ax + By + Cz +D = 0\) và điểm \({M_{0\;}}\left( {{x_0}\;;{\rm{ }}{y_{0\;}};{\rm{ }}{z_0}} \right).\) .Khoảng cơ hội từ M₀đến \((P)\) được cho tới vì thế công thức:

\(d({M_0},P) = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)

5. Góc đằm thắm nhị mặt bằng phẳng.

Cho nhị mặt mũi bằng phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) có phương trình :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{P_1}} \right):\;{A_1}x + {B_1}y\; + {C_1}z + {D_1}\; = 0;}\\
{\left( {{P_2}} \right):\;{A_2}x + {B_2}y\; + {C_2}z + {D_2}\; = 0.}
\end{array}\)

Gọi \(\varphi \) là góc đằm thắm nhị mặt mũi phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) thì \(0\; \le \;\varphi {\rm{ }} \le {\rm{ }}{90^{0\;}}\) và :

Xem thêm: Giới thiệu về Ca Khia TV – Trang web xem trực tiếp bóng đá hôm nay

\(cos\varphi =|cos\widehat{\left (\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right )}|=\dfrac{|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}.\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}\).