phương trình bậc hai

By Admin 02/10/2023 0

Bách khoa toàn thư cởi Wikipedia

Công thức nghiệm tổng quát lác của phương trình bậc hai

Trong đại số sơ cấp cho, phương trình bậc hai là phương trình đem dạng: .

Bạn đang xem: phương trình bậc hai

Với x là ẩn số chưa chắc chắn và a, b, c là những số vẫn biết sao mang đến a không giống 0. Các số a, b, và c là những hệ số của phương trình và rất có thể phân biệt bằng phương pháp gọi ứng hệ số bậc hai, hệ số bậc một, và hằng số hoặc hệ số tự động do.[1]

Vì phương trình bậc hai có duy nhất một ẩn nên nó được gọi là phương trình "đơn biến". Phương trình bậc nhì chỉ chứa chấp lũy quá của x là những số ngẫu nhiên, vì vậy bọn chúng là 1 trong dạng phương trình nhiều thức, rõ ràng là phương trình nhiều thức bậc nhì bởi bậc tối đa là nhì.

Các cơ hội giải phương trình bậc hai thông dụng là nhân tử hóa (phân tích trở nên nhân tử), cách thức phần bù bình phương, dùng công thức nghiệm, hoặc loại thị. Giải pháp cho những yếu tố tương tự động phương trình bậc hai đang được trái đất nghe biết từ thời điểm năm 2000 trước Công Nguyên.

Giải phương trình bậc hai[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 1. Đồ thị của hàm số bậc nhì y = ax2 + bx + c với từng thông số thay đổi trong những khi những thông số không giống không thay đổi bên trên độ quý hiếm a = 1, b = 0, c = 0. Ví dụ, loại thị phía bên phải là của hàm số y = ax2 (b = c = 0 ko đổi) ứng với những độ quý hiếm a thay cho thay đổi là −4/3, −1/2, 0, 1/3, và 3/2 (màu sắc tương ứng); tương tự động loại thị ở thân thiện là của hàm số y = x2 + bx và loại thị phía bên trái là của hàm số y = x2 + c.

Một phương trình bậc hai với những thông số thực hoặc phức đem nhì đáp số, gọi là những nghiệm. Hai nghiệm này còn có thế phân biệt hoặc ko, và rất có thể là thực hoặc ko.

Phân tích trở nên nhân tử bằng phương pháp kiểm tra[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình bậc nhì ax2 + bx + c = 0 rất có thể ghi chép được trở nên (px + q)(rx + s) = 0. Trong một vài ba tình huống, điều này rất có thể triển khai vày một bước kiểm tra giản dị và đơn giản nhằm xác lập những độ quý hiếm p, q, r, và s sao mang đến phù phù hợp với phương trình đầu. Sau khi vẫn ghi chép được trở nên dạng này thì phương trình bậc hai tiếp tục thỏa mãn nhu cầu nếu như px + q = 0 hoặc rx + s = 0. Giải nhì phương trình hàng đầu này tớ tiếp tục lần đi ra được nghiệm.

Với đa số học viên, phân tách trở nên nhân tử bằng phương pháp đánh giá là cách thức giải phương trình bậc hai thứ nhất mà người ta được tiếp cận.[2]:202–207 Nếu phương trình bậc hai ở dạng x2 + bx + c = 0 (a = 1) thì rất có thể lần cơ hội phân tách vế trái khoáy trở nên (x + q)(x + s), nhập cơ q và s đem tổng là -b và tích là c (đây nhiều lúc được gọi là "quy tắc Viet"[3]) Ví dụ, x2 + 5x + 6 ghi chép trở nên (x + 3)(x + 2). Trường ăn ý tổng quát lác rộng lớn khi a ≠ 1 yên cầu nỗ lực to hơn trong công việc đoán, demo và kiểm tra; giả thiết rằng trọn vẹn rất có thể thực hiện được vì vậy.

Trừ những tình huống quan trọng như khi b = 0 hoặc c = 0, phân tách vày đánh giá chỉ triển khai được so với những phương trình bậc hai đem nghiệm hữu tỉ. Như vậy Tức là đa số những phương trình bậc hai đột biến nhập phần mềm thực tiễn biệt ko thể giải được vày cách thức này.[2]:207

Phần bù bình phương[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 2. Đồ thị hàm số bậc nhì y = x2 − x − 2. Các hoành phỏng uỷ thác điểm của loại thị với trục hoành x = −1 và x = 2 là nghiệm của phương trình bậc hai x2 − x − 2 = 0.

Trong quy trình triển khai xong bình phương tớ dùng hằng đẳng thức:

một thuật toán rẽ ròi rất có thể vận dụng nhằm giải ngẫu nhiên phương trình bậc hai này.[2]:207 Bắt đầu với phương trình bậc hai dạng tổng quát lác ax2 + bx + c = 0

  1. Chia nhì vế mang đến a, thông số của ẩn bình phương.
  2. Trừ c/a từng vế.
  3. Thêm bình phương của 50% b/a, thông số của x, nhập nhì vế, vế trái khoáy tiếp tục phát triển thành bình phương không thiếu.
  4. Viết vế trái khoáy trở nên bình phương của một tổng và giản dị và đơn giản hóa vế nên nếu như quan trọng.
  5. Khai căn nhì vế chiếm được nhì phương trình hàng đầu.
  6. Giải nhì phương trình hàng đầu.

Tiếp theo đòi là ví dụ minh họa việc dùng thuật toán này. Giải phương trình 2x2 + 4x − 4 = 0

Đây là điều giải.

Dấu cộng-trừ "±" biểu thị rằng cả x = −1 + √3 và x = −1 − √3 đều là nghiệm của phương trình.[4]

Công thức nghiệm[sửa | sửa mã nguồn]

Có thể vận dụng cách thức phần bù bình phương nhằm rút đi ra một công thức tổng quát lác mang đến việc giải phương trình bậc hai, được gọi là công thức nghiệm của phương trình bậc hai.[5] Giờ là phần chứng tỏ tóm lược.[6] bằng phẳng khai triển nhiều thức, hay thấy phương trình tiếp sau đây tương tự với phương trình đầu:

Lấy căn bậc nhì của nhì vế rồi trả x về một phía, tớ được:

Một số mối cung cấp tư liệu, nhất là tư liệu cũ, dùng thông số hóa phương trình bậc hai thay cho thế như ax2 + 2bx + c = 0 hoặc ax2 − 2bx + c = 0 ,[7] ở trên đây b có tính rộng lớn vày 50% và rất có thể đem vệt ngược lại. Các dạng nghiệm là khá không giống, sót lại thì tương tự.

Xem thêm: de thi toan lop 2 hoc ki 2 nam 2017

Còn một vài cơ hội rút ra sức thức nghiệm rất có thể nhìn thấy nhập tư liệu. Các cơ hội chứng tỏ này là giản dị và đơn giản rộng lớn cách thức phần bù bình phương chi phí chuẩn chỉnh.

Một công thức không nhiều thông dụng rộng lớn, như sử dụng nhập cách thức Muller và rất có thể tìm ra kể từ công thức Viet:

Một đặc điểm của công thức này là lúc a = 0 nó sẽ bị tạo ra một nghiệm hợp thức, trong những khi nghiệm sót lại đem chứa chấp phép tắc phân chia mang đến 0, vày khi a = 0 thì phương trình bậc hai tiếp tục trả về hàng đầu mang trong mình một nghiệm. trái lại, công thức thông dụng chứa chấp phép tắc phân chia mang đến 0 ở cả nhì tình huống.

Phương trình bậc nhì rút gọn[sửa | sửa mã nguồn]

Việc rút gọn gàng phương trình bậc hai khiến cho thông số lớn số 1 vày một nhiều lúc là tiện lợi. Cách thực hiện là phân chia cả nhì vế mang đến a, điều này luôn luôn triển khai được vày a không giống 0, tớ được phương trình bậc hai rút gọn:[8]

trong cơ p = b/a và q = c/a. Công thức nghiệm của phương trình này là:

Biệt thức[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 3. Hình ảnh tận hưởng của vệt của biệt thức cho tới số nghiệm [thực] của phương trình bậc hai. Khi Δ > 0, lối parabol hạn chế trục hoành bên trên nhì điểm; Δ = 0, đỉnh của parabol xúc tiếp với trục hoành bên trên một điểm duy nhất; Δ < 0, parabol ko uỷ thác trục hoành bên trên ngẫu nhiên điểm này. (đường parabol là loại thị của hàm số bậc hai)

Trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai, biểu thức bên dưới vệt căn được gọi là biệt thức và thông thường được màn biểu diễn bằng văn bản D hoa hoặc chữ delta hoa (Δ) nhập bảng vần âm Hy Lạp:[9]

Ngoài đi ra, với b = 2b' thì tớ đem biệt thức thu gọn:
với Δ = 4Δ'

Phương trình bậc nhì với những thông số thực rất có thể mang trong mình một hoặc nhì nghiệm thực phân biệt, hoặc nhì nghiệm phức phân biệt. Trong tình huống này biệt thức ra quyết định con số và thực chất của nghiệm. Có phụ thân ngôi trường hợp:

  • Nếu Δ (hoặc Δ') dương (Δ > 0 hoặc Δ'>0), phương trình đem nhì nghiệm phân biệt:
cả nhì đều là nghiệm thực. Đối với những phương trình bậc hai đem thông số hữu tỉ, nếu như Δ, Δ' là một vài chủ yếu phương thì nghiệm là hữu tỉ; còn với những tình huống không giống bọn chúng rất có thể là những số vô tỉ.
  • Nếu Δ = 0 (hoặc Δ' = 0), phương trình mang trong mình một nghiệm thực:
(hoặc )
hay nhiều lúc thường hay gọi là nghiệm kép.
  • Nếu Δ (hoặc Δ') âm (Δ < 0 hoặc Δ' < 0), phương trình không tồn tại nghiệm thực, thay cho nhập này đó là nhì nghiệm phức phân biệt[10]
hoặc
là những số phức phối hợp, còn i là đơn vị chức năng ảo.

Vậy phương trình đem nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ không giống 0, đem nghiệm thực khi và chỉ khi Δ ko âm (Δ ≥ 0) .

Diễn giải vày hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số f(x) = ax2 + bx + c là hàm số bậc nhì.[11] Đồ thị của ngẫu nhiên hàm bậc nhì nào thì cũng đều phải có một dạng công cộng được gọi là parabol. Vị trí, hình dạng, form size của parabol tùy theo độ quý hiếm của a, b, và c. Nếu a > 0, prabol mang trong mình một điểm vô cùng tè và bề lõm phía lên trên; nếu như a < 0, parabol mang trong mình một điểm cực to và bề lõm phía xuống bên dưới (xem hình 1, a). Cực điểm của parabol ứng với đỉnh của nó; điểm này còn có hoành phỏng , tính x rồi thế nhập hàm số tớ tiếp tục tìm ra độ quý hiếm tung phỏng. Đồ thị uỷ thác trục tung bên trên điểm đem tọa phỏng (0, c).

Các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ứng là những nghiệm của hàm số f(x) = ax2 + bx + c vày bọn chúng là những độ quý hiếm của x khiến cho f(x) = 0. Nếu a, b, và c là những số thực và miền xác lập của hàm f là tập kết số thực thì nghiệm của f là hoành phỏng của giao/tiếp điểm của loại thị với trục hoành (xem hình 3).

Nhân tử hóa nhiều thức bậc hai[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức

là nhân tử của nhiều thức

khi và chỉ khi r là 1 trong nghiệm của phương trình bậc hai

Từ công thức nghiệm tớ có

Trong tình huống quan trọng b2 = 4ac (hay Δ = 0) phương trình có duy nhất một nghiệm phân biệt, rất có thể nhân tử hóa nhiều thức bậc nhì thành

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Ngay từ thời điểm năm 2000 trước Công Nguyên, những căn nhà toán học tập Babylon vẫn rất có thể giải những vấn đề tương quan cho tới diện tích S và những cạnh của hình chữ nhật. Có dẫn chứng đã cho thấy thuật toán này xuất hiện tại kể từ triều đại Ur loại phụ thân.[12] Theo ký hiệu tiến bộ, những vấn đề này thông thường tương quan cho tới việc giải hệ bao gồm nhì phương trình:

tương đương với phương trình:[13]:86

Các bước giải được người Babylon thể hiện như sau:

  1. Tính p/2.
  2. Bình phương sản phẩm tìm ra.
  3. Trừ lên đường q.
  4. Tính căn bậc nhì vày bảng căn bậc nhì.
  5. Cộng sản phẩm của bước (1) và (4) nhằm lần x. Như vậy về cơ bạn dạng là tương tự với việc tính

Ở Babylon, Ai Cập, Hy Lạp, Trung Quốc, và đè Độ, cách thức hình học tập được dùng nhằm giải phương trình bậc hai. Tài liệu Berlin Papyrus của những người Ai Cập đem kể từ thời Trung quốc gia (từ năm 2050 cho tới 1650 trước CN) đem chứa chấp điều giải của phương trình bậc hai nhì số hạng.[14] Trong vẹn toàn bạn dạng kinh Sulba Sutras, khoảng tầm thế kỷ 8 trước công nhân, phương trình bậc hai dạng ax2 = c và ax2 + bx = c được tham khảo vày cách thức hình học tập. Các căn nhà toán học tập Babylon kể từ khoản năm 400 trước công nhân và những căn nhà toán học tập Trung Quốc kể từ khoảng tầm năm 200 trước công nhân vẫn dùng cách thức phân loại hình học tập nhằm giải những phương trình bậc hai với nghiệm dương.[15][16] Cuốn Cửu chương toán thuật của những người Trung Quốc đem ghi những quy tắc của phương trình bậc hai.[16][17] Trong những cách thức hình học tập thuở đầu này sẽ không xuất hiện tại một công thức tổng quát lác. Tới khoảng tầm năm 300 trước công nhân, căn nhà toán học tập Hy Lạp Euclid vẫn tạo ra một cách thức hình học tập trừu tượng rộng lớn. Với cơ hội tiếp cận trọn vẹn vày hình học tập, Pythagoras và Euclid vẫn tạo nên dựng một cách thức tổng quan lại nhằm lần nghiệm của phương trình bậc hai. Trong kiệt tác Arithmetica của tớ, căn nhà toán học tập Hy Lạp Diophantus vẫn giải phương trình bậc hai, song chỉ tạo ra một nghiệm, cho dù là khi cả nhì nghiệm đều là dương.[18]

Vào năm 628 công nhân, Brahmagupta, một căn nhà toán học tập đè Độ thể hiện điều giải rõ nét thứ nhất (dù vẫn ko trọn vẹn tổng quát) mang đến phương trình bậc hai ax2 + bx = c như sau: "Nhân số vô cùng (c) với tứ thứ tự thông số bình phương, cùng theo với bình phương thông số số hạng ở giữa; căn bậc nhì toàn cỗ, trừ lên đường thông số số hạng ở thân thiện, rồi phân chia mang đến nhì thứ tự thông số bình phương là độ quý hiếm." (Brahmasphutasiddhanta, Colebrook translation, 1817, tr 346)[13]:87 Như vậy tương đương:

Thủ bạn dạng Bakhshali Thành lập ở đè Độ nhập thế kỷ 7 công nhân đem có một công thức đại số mang đến việc giải phương trình bậc hai, cũng giống như những phương trình vô ấn định. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi ra đi rộng lớn trong công việc cung ứng một điều giải không thiếu mang đến phương trình bậc hai dạng tổng quát lác,[19] ông đã và đang tế bào miêu tả cách thức phần bù bình phương và quá nhận rằng biệt thức nên dương,[19][20]:230 điều đang được 'Abd al-Hamīd ibn Turk (Trung Á, thế kỷ 9) chứng tỏ. Turk là kẻ thể hiện những biểu loại hình học tập chứng tỏ rằng nếu như biệt thức âm thì phương trình bậc hai vô nghiệm.[20]:234 Trong khi bạn dạng thân thiện al-Khwarizmi ko đồng ý nghiệm âm, những căn nhà toán học tập Hồi giáo kế tiếp tục ông sau đây vẫn đồng ý nghiệm âm hao hao nghiệm vô tỉ.[19]:191[21] Cá biệt Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Ai Cập, thế kỷ 10) là kẻ thứ nhất đồng ý những số vô tỉ (thường ở dạng căn bậc nhì, căn bậc phụ thân hoặc căn bậc bốn) là nghiệm Hoặc là thông số của phương trình bậc hai.[22] Nhà toán học tập đè Độ thế kỷ loại 9 Sridhara vẫn ghi chép đi ra những quy tắc giải phương trình bậc hai.[23]

Xem thêm: sheets google

Nhà toán học tập người Do Thái Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (thế kỷ 12, Tây Ban Nha) là người sáng tác cuốn sách thứ nhất của những người châu Âu đem chứa chấp điều giải không thiếu mang đến phương trình bậc hai dạng tổng quát lác.[24] Giải pháp của Ha-Nasi dựa nhiều nhập kiệt tác của Al-Khwarizmi.[19] Lần thứ nhất thông số âm của 'x' xuất hiện tại nhập kiệt tác của phòng toán học tập người Trung Quốc Yang Hui (1238–1298 CN), cho dù vậy ông mang đến điều này là kể từ căn nhà toán học tập Liu Yi ở thời trước cơ.[25] Vào năm 1545 Gerolamo Cardano biên soạn những kiệt tác tương quan cho tới phương trình bậc hai. Công thức nghiệm mang đến từng tình huống lần thứ nhất đạt được vày Simon Stevin nhập năm 1594.[26] Năm 1637 René Descartes công tía kiệt tác La Géométrie nhập cơ đem chứa chấp công thức nghiệm tuy nhiên tất cả chúng ta biết thời buổi này. Lời giải tổng quát lác xuất hiện tại lần thứ nhất nhập tư liệu toán học tập tiến bộ nhập năm 1896, vày Henry Heaton.[27]

Công thức Viète[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức Viète mang đến tớ thấy mối liên hệ giản dị và đơn giản trong số những nghiệm của nhiều thức với những thông số của chính nó. Trong tình huống phương trình bậc hai một ẩn, bọn chúng được tuyên bố như sau:

Các tình huống nhận thấy đặc biệt[sửa | sửa mã nguồn]

Khi phương trình bậc hai vẫn mang đến đem tín hiệu sau:

Chủ đề liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

  • Phương trình
  • Phương trình tuyến tính
  • Hàm số bậc nhất
  • Hàm số bậc hai
  • Phương trình bậc ba
  • Phương trình bậc bốn
  • Phương trình bậc năm
  • Lý thuyết cơ bạn dạng của đại số
  • Đường cong bậc hai
  • Mặt bậc hai

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Protters & Morrey: " Calculus and Analytic Geometry. First Course"
  2. ^ a b c Washington, Allyn J. (2000). Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition. Addison Wesley Longman, Inc. ISBN 0-201-35666-X.
  3. ^ Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Ewing, John H. (1991), Numbers, Graduate Texts in Mathematics, 123, Springer, tr. 77, ISBN 9780387974972.
  4. ^ Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, tr. 219, ISBN 978-0-470-55964-2
  5. ^ Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004), Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra, The McGraw-Hill Companies, ISBN 0-07-141083-X, Chapter 13 §4.4, p. 291
  6. ^ Himonas, Alex. Calculus for Business and Social Sciences, p. 64 (Richard Dennis Publications, 2001).
  7. ^ Kahan, Willian (ngày trăng tròn mon 11 năm 2004), On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic (PDF), truy vấn ngày 25 mon 12 năm 2012
  8. ^ Alenit͡syn, Aleksandr and Butikov, Evgeniĭ. Concise Handbook of Mathematics and Physics, p. 38 (CRC Press 1997)
  9. ^ Δ is the initial of the Greek word Διακρίνουσα, Diakrínousa, discriminant.
  10. ^ Achatz, Thomas; Anderson, John G.; McKenzie, Kathleen (2005). Technical Shop Mathematics. Industrial Press. tr. 277. ISBN 0-8311-3086-5.
  11. ^ Wharton, Phường. (2006). Essentials of Edexcel Gcse Math/Higher. Lonsdale. tr. 63. ISBN 978-1-905-129-78-2.
  12. ^ Friberg, Jöran (2009). “A Geometric Algorithm with Solutions lớn Quadratic Equations in a Sumerian Juridical Document from Ur III Umma”. Cuneiform Digital Library Journal. 3.
  13. ^ a b Stillwell, John (2004). Mathematics and Its History (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-95336-1.
  14. ^ The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East. Cambridge University Press. 1971. tr. 530. ISBN 978-0-521-07791-0.
  15. ^ Henderson, David W. “Geometric Solutions of Quadratic and Cubic Equations”. Mathematics Department, Cornell University. Truy cập ngày 28 tháng tư năm 2013.
  16. ^ a b Aitken, Wayne. “A Chinese Classic: The Nine Chapters” (PDF). Mathematics Department, California State University. Truy cập ngày 28 tháng tư năm 2013.
  17. ^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 380. ISBN 978-0-486-20430-7.
  18. ^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics, Volume 1. Courier Dover Publications. tr. 134. ISBN 0-486-20429-4. Extract of page 134
  19. ^ a b c d Katz, V. J.; Barton, B. (2006). “Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching”. Educational Studies in Mathematics. 66 (2): 185–201. doi:10.1007/s10649-006-9023-7.
  20. ^ a b Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach, rev. editor (1991). A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7.
  21. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999), “Arabic mathematics: forgotten brilliance?”, Bộ tàng trữ lịch sử vẻ vang toán học tập MacTutor, Đại học tập St. Andrews "Algebra was a unifying theory which allowed rational numbers, irrational numbers, geometrical magnitudes, etc., lớn all be treated as "algebraic objects"."
  22. ^ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan chỉnh sửa (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Springer, ISBN 1-4020-0260-2
  23. ^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 280. ISBN 978-0-486-20429-1.
  24. ^ Livio, Mario (2006). The Equation that Couldn't Be Solved. Simon & Schuster. ISBN 0743258215.
  25. ^ Ronan, Colin (1985). The Shorter Science and Civilisation in China. Cambridge University Press. tr. 15. ISBN 978-0-521-31536-4.
  26. ^ Struik, D. J.; Stevin, Simon (1958), The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics (PDF), II–B, C. V. Swets & Zeitlinger, tr. 470
  27. ^ Heaton, H (1896). “A Method of Solving Quadratic Equations”. American Mathematical Monthly. 3 (10): 236–237. doi:10.2307/2971099. JSTOR 2971099.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Quadratic Equation Solver
  • Solve Quadratic equations, see work shown and draw graphs
Các chủ thể chủ yếu tương quan cho tới những phương trình đại số
Bài toán Lừa và La | Biểu thức đại số | Chu kỳ toán | Công thức bậc phụ thân | Công thức bậc nhì | Dạng bậc năm cơ bạn dạng | Định lý bất khả Abel | Định lý tối giản Casus | Định lý Viète | Hệ phương trình | Phương trình bậc nhì | Phương trình bậc phụ thân | Phương trình bậc tứ | Phương trình bậc năm | Phương trình bậc sáu | Phương trình siêu việt Lambert | Phương trình tuyến tính